Задача 7. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
Первый вариант решения: \(r = OH = \frac{1}{3}CH = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2.\) Ответ: 2. Второй вариант решения: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r = \frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2}.\) С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH.\) Приравнивая эти две площади и учитывая, что \(CH = 6\), получим: \(\frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 2.\) Ответ: 2.
Так как треугольник равносторонний, то центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы треугольника точкой пересечения делятся 2:1 считая от вершины. Следовательно: