Задача 8. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
Первый вариант решения: \(CH = 3r = 3 \cdot 6 = 18.\) Ответ: 18. Второй вариант решения: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r = \frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2}.\) С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH.\) Приравнивая эти две площади и учитывая, что \(r = 6\), получим: \(\frac{{3 \cdot AB \cdot 6}}{2} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 18.\) Ответ: 18.
Так как треугольник равносторонний, то центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы треугольника точкой пересечения делятся 2:1 считая от вершины. Следовательно: