Задача 9. Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt 3 \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Первый вариант решения: По определению тангенса из треугольника АОН: \({\rm{tg}}\angle OAH = \frac{{OH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{30^ \circ } = \frac{{OH \cdot 2}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \(\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{OH \cdot 2}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OH = 0,5 = r.\) Ответ: 0,5. Второй вариант решения: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r = \frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2}\). С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot A{B^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Приравнивая эти две площади и учитывая, что \(AB = \sqrt 3 \), получим: \(\frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2} = \frac{1}{2} \cdot A{B^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,3 \cdot r = \frac{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,r = 0,5.\) Ответ: 0,5.
Так как треугольник равносторонний, то \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), а АО – является биссектрисой и \(\angle OAH = \frac{{{{60}^ \circ }}}{2} = {30^ \circ }.\)