Задача 21. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Первый вариант решения: \(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{48}}{2} = 24.\) По теореме Пифагора для треугольника АСН: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = {40^2}- {24^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,CH = 32.\) По определению синуса из треугольника АСН: \(\sin A = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{32}}{{40}} = \frac{4}{5}.\) Воспользуемся теоремой синусов для треугольника АВС: \(\frac{{CB}}{{\sin A}} = 2R\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{40 \cdot 5}}{4} = 2R\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,R = 25.\) Ответ: 25. Второй вариант решения: Воспользуемся тем, что площадь треугольника равна: \(S = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4R}}\), где а, b и с стороны треугольника, R – радиус описанной окружности. Тогда: \(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}}\). Площадь треугольника найдем по формуле Герона: \(S = \sqrt {p\left( {p-a} \right)\left( {p-b} \right)\left( {p-c} \right)} \), где а, b и с – стороны, а \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) полупериметр. Тогда: \(p = \frac{{40 + 40 + 48}}{2} = 64.\) \(S = \sqrt {64 \cdot \left( {64-40} \right) \cdot \left( {64-40} \right) \cdot \left( {64-48} \right)} = \sqrt {64 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 16} = 8 \cdot 24 \cdot 4.\) \(R = \frac{{40 \cdot 40 \cdot 48}}{{4 \cdot 8 \cdot 24 \cdot 4}} = 25.\) Ответ: 25.
Пусть \(AC = BC = 40,\,\,\,AB = 48,\) СН – высота. Так как треугольник равнобедренный, то