ЕГЭ профильный уровень. №1 Описанные окружности. Задача 24

Задача 24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Проведём высоту трапеции РК через центр окружности О. Тогда:

\(DP = PC = \dfrac{{DC}}{2} =\dfrac{6}{2} = 3;\) \(AK = BK = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{8}{2} = 4.\)

По теореме Пифагора из треугольников DPO и АКО:

\(D{O^2} = D{P^2} + P{O^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,P{O^2} = {5^2}-{3^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,PO = 4.\)

\(A{O^2} = A{K^2} + K{O^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,K{O^2} = {5^2}-{4^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,KO = 3.\)

Тогда: \(PK = PO + KO = 4 + 3 = 7.\)

Ответ: 7.