Задача 3. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Решение

Пусть дуги AB, BC, CD и AD равны соответственно 4х, 2х, 3х и 6х. Тогда:

\(4x + 2x + 3x + 6x = {360^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,15x = {360^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {24^ \circ }.\)

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

\(\angle A = \frac{1}{2} \cup BCD = \frac{1}{2}\left( { \cup BC +  \cup CD} \right) = \frac{1}{2}\left( {2x + 3x} \right) = \frac{{5x}}{2} = \frac{{5 \cdot {{24}^ \circ }}}{2} = {60^ \circ }.\)

Ответ:  60.