Задача 15. Вычислите \({\left| {\,\vec a + \vec b\,} \right|^2}\), если \(\left| {\,\vec a\,} \right| = 3,\,\,\,\left| {\,\vec b\,} \right| = 4\) и угол между векторами \(\vec a\,\) и \(\vec b\) равен \({60^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ:  37.

Решение

По правилу параллелограмма:  \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {AC} .\)  Найдём АС по теореме косинусов:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos {120^ \circ }\)

\(AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {-\frac{1}{2}} \right)}  = \sqrt {37} .\)

Тогда:  \({\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt {37} } \right)^2} = 37.\)

Ответ:  37.