ЕГЭ профильный уровень. №2 Векторы. Задача 3math100admin44242023-11-03T22:00:48+03:00
Задача 3. По данным на рисунке найдите \(\left| {\,\overrightarrow {MN} -\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {NE} -\overrightarrow {NO} \,} \right|,\) если MN = 5 и NE = 12.
Решение
\(\left| {\overrightarrow {MN} -\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {NE} -\overrightarrow {NO} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NE} + \overrightarrow {EF} -\overrightarrow {NO} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EF} -\overrightarrow {NO} } \right| = \left| {\overrightarrow {MF} -\overrightarrow {NO} } \right|.\)
Воспользуемся тем, что \(\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {NE} \). Тогда: \(\left| {\overrightarrow {MF} -\overrightarrow {NO} } \right| = \left| {\overrightarrow {NE} -\overrightarrow {NO} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right|\). По теореме Пифагора из треугольника MNE:
\(M{E^2} = M{N^2} + N{E^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,ME = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13.\)
Тогда: \(OE = \frac{{ME}}{2} = \frac{{13}}{2} = 6,5.\) Следовательно: \(\left| {\overrightarrow {MN} -\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {NE} -\overrightarrow {NO} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = 6,5.\)
Ответ: 6,5.