Задача 4. По данным на рисунке найдите \(\left| {\,\overrightarrow {ME} -\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {EK} -\overrightarrow {NK} \,} \right|,\) если EK = 5 и MK = 8. 

Ответ

ОТВЕТ:  3.

Решение

\(\left| {\overrightarrow {ME} -\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {EK} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EK}  + \overrightarrow {KO} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MK}  + \overrightarrow {KO} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MO} -\overrightarrow {NK} } \right|.\)

Воспользуемся тем, что  \(\overrightarrow {NK}  = \overrightarrow {ME} .\)  Тогда:  \(\left| {\overrightarrow {MO} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MO} -\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {EO} } \right|.\)  Так как  MEKN  ромб, то  \(\angle EOK = {90^ \circ }\)  и  \(OK = \frac{{MK}}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)  По теореме Пифагора из треугольника EOK:

\(E{K^2} = O{K^2} + E{O^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,EO = \sqrt {{5^2}-{4^2}}  = 3.\)

Следовательно,  \(\left| {\overrightarrow {ME} -\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {EK} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {EO} } \right| = 3.\)

Ответ:  3.