ЕГЭ профильный уровень. №2 Векторы. Задача 4math100admin44242023-11-03T22:03:43+03:00
Задача 4. По данным на рисунке найдите \(\left| {\,\overrightarrow {ME} -\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {EK} -\overrightarrow {NK} \,} \right|,\) если EK = 5 и MK = 8.
Решение
\(\left| {\overrightarrow {ME} -\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {EK} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EK} + \overrightarrow {KO} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KO} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MO} -\overrightarrow {NK} } \right|.\)
Воспользуемся тем, что \(\overrightarrow {NK} = \overrightarrow {ME} .\) Тогда: \(\left| {\overrightarrow {MO} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MO} -\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {EO} } \right|.\) Так как MEKN ромб, то \(\angle EOK = {90^ \circ }\) и \(OK = \frac{{MK}}{2} = \frac{8}{2} = 4.\) По теореме Пифагора из треугольника EOK:
\(E{K^2} = O{K^2} + E{O^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,EO = \sqrt {{5^2}-{4^2}} = 3.\)
Следовательно, \(\left| {\overrightarrow {ME} -\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {EK} -\overrightarrow {NK} } \right| = \left| {\overrightarrow {EO} } \right| = 3.\)
Ответ: 3.