Задача 5. По данным на рисунке найдите \(\left| {\,\overrightarrow {KE} -\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {KN} \,} \right|,\) если \(KE = 4\sqrt 2 \) и \(\angle \,NKM = {45^ \circ }.\)
ОТВЕТ: 4.
\(\left| {\overrightarrow {KE} -\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {KN} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {KN} } \right|.\) Так как векторы \(\overrightarrow {ME} \) и \(\overrightarrow {KN} \) имеют противоположные направления, то: \(\left| {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {KN} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right|-\left| {\overrightarrow {KN} } \right|.\) \(\angle NKM = \angle KME = {45^ \circ }\) как накрест лежащие. Значит прямоугольный треугольник MKE равнобедренный и \(MK = KE = 4\sqrt 2 \). По определению косинуса из треугольника NKM: \(\cos {45^ \circ } = \frac{{NK}}{{MK}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{NK}}{{4\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,NK = 4.\) По определению синуса из треугольника MKE: \(\sin {45^ \circ } = \frac{{KE}}{{ME}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{ME}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,ME = 8.\) Тогда: \(\left| {\overrightarrow {KE} -\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {KN} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right|-\left| {\overrightarrow {KN} } \right| = 8-4 = 4.\) Ответ: 4.