Задача 5. По данным на рисунке найдите \(\left| {\,\overrightarrow {KE} -\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN} \,} \right|,\) если \(KE = 4\sqrt 2 \) и \(\angle \,NKM = {45^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ:  4.

Решение

\(\left| {\overrightarrow {KE} -\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {KN} } \right|.\)

Так как векторы  \(\overrightarrow {ME} \)  и  \(\overrightarrow {KN} \)  имеют противоположные направления, то:  \(\left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {KN} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right|-\left| {\overrightarrow {KN} } \right|.\)

\(\angle NKM = \angle KME = {45^ \circ }\)  как накрест лежащие. Значит прямоугольный треугольник  MKE  равнобедренный и  \(MK = KE = 4\sqrt 2 \).  По определению косинуса из треугольника NKM:

\(\cos {45^ \circ } = \frac{{NK}}{{MK}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{NK}}{{4\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,NK = 4.\)

По определению синуса из треугольника  MKE:

\(\sin {45^ \circ } = \frac{{KE}}{{ME}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{ME}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,ME = 8.\)

Тогда:  \(\left| {\overrightarrow {KE} -\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right|-\left| {\overrightarrow {KN} } \right| = 8-4 = 4.\)

Ответ:  4.