Задача 6. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 15 и ВС = 4. Найдите \(\left| {\,\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \,} \right|.\)

Ответ

ОТВЕТ:  7.

Решение

\(\left| {\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right|.\)

Проведём  \(BK\parallel CD.\)  Следовательно, четырёхугольник  BCDK  параллелограмм и  \(KD = BC = 4.\)  По правилу параллелограмма:  \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CK} .\)  Проведём  \(BM\parallel CK.\) Четырёхугольник  BCKM – параллелограмм и \(MK = BC = 4.\) При этом  \(\overrightarrow {CK}  = \overrightarrow {BM} \). Следовательно:

\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CK} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\)

Так как  \(AD = 15\), то  \(AM = AD-MK-KD = 15-4-4 = 7.\)

Значит:  \(\left| {\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 7.\)

Ответ:  7.