Задача 7. В равностороннем треугольнике ABC со стороной равной \(5\sqrt 3 \)  найдите \(\left| {\,\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \,} \right|.\)

Ответ

ОТВЕТ:  15.

Решение

Достроим треугольник АВС до ромба ABDC. Тогда по правилу параллелограмма  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} .\)  По определению синуса из треугольника АВО:

\(\sin {60^ \circ } = \frac{{AO}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AO}}{{5\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AO = 7,5.\)

Тогда:  \(AD = 2AO = 2 \cdot 7,5 = 15.\)  Следовательно:  \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 15.\)

Ответ:  15.