Задача 8. Сторона равностороннего треугольника ABC равна \(6\sqrt 3 .\) Найдите длину суммы векторов \(\overrightarrow {CA} \) и \(\overrightarrow {BA} .\) 

Ответ

ОТВЕТ:  18.

Решение

Достроим треугольник АВС до ромба ABDC.  Тогда:  \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA}  = -\overrightarrow {AC} -\overrightarrow {AB}  = -\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right).\)

По правилу параллелограмма  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD} .\)

По определению синуса из треугольника АВО:

\(\sin {60^ \circ } = \frac{{AO}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AO}}{{6\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AO = 9.\)

Тогда:  \(AD = 2AO = 2 \cdot 9 = 18.\)  Следовательно:  \(\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {-\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 18.\)

Ответ:  18.