ЕГЭ профильный уровень. №2 Векторы. Задача 9

Задача 9. Сторона равностороннего треугольника ABC равна \(8\sqrt 3 .\) Найдите длину разности векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CA} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Решение

Достроим треугольник АВС до ромба ABDC. \(\left| {\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\)

По определению синуса из треугольника АВО:

\(\sin {60^ \circ } = \dfrac{{AO}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{AO}}{{8\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AO = 12.\)

Тогда: \(AD = 2AO = 2 \cdot 12 = 24.\) Следовательно: \(\left| {\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 24.\)

Ответ: 24.