Задача 23. Даны векторы \(\vec a\left( {2;\,3} \right)\) и \(\vec b\left( {-3;\,y} \right).\) Найдите y, если \(\left| {\,\vec b\,} \right| = 1,5\left| {\,\vec a\,} \right|.\)   Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Ответ

ОТВЕТ:  \(-4,5\).

Решение

Длина вектора  \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна  \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Тогда:  \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{{\left( {-3} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {9 + {y^2}} .\)

Следовательно:

\(\sqrt {9 + {y^2}}  = \frac{3}{2}\sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9 + {y^2} = \frac{{9 \cdot 13}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^2} = \frac{{81}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y =  \pm 4,5.\)

Наименьшее значение равно \(-4,5.\)

Ответ:  \(-4,5\).