Задача 23. Даны векторы \(\vec a\left( {2;\,3} \right)\) и \(\vec b\left( {-3;\,y} \right).\) Найдите y, если \(\left| {\,\vec b\,} \right| = 1,5\left| {\,\vec a\,} \right|.\) Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение
Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
Тогда: \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{{\left( {-3} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {9 + {y^2}} .\)
Следовательно:
\(\sqrt {9 + {y^2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9 + {y^2} = \dfrac{{9 \cdot 13}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^2} = \dfrac{{81}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y = \pm 4,5.\)
Наименьшее значение равно \(-4,5.\)
Ответ: \(-4,5\).