Задача 24. Даны векторы \(\vec a\left( {4;\,-1} \right)\) и \(\vec b\left( {x;\,8} \right).\) Найдите x, если \(\left| {\,\vec b\,} \right| = 2,5\left| {\,\vec a\,} \right|.\)   Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Ответ

ОТВЕТ:  \(-6,5\).

Решение

Длина вектора  \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна  \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Тогда:  \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( {-1} \right)}^2}}  = \sqrt {17} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{x^2} + {8^2}}  = \sqrt {{x^2} + 64} .\)

Следовательно:

\(\sqrt {{x^2} + 64}  = \frac{5}{2}\sqrt {17} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 64 = \frac{{25 \cdot 17}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \frac{{169}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y =  \pm 6,5.\)

Наименьшее значение равно \(-6,5.\)

Ответ:  \(-6,5\).