Задача 24. Даны векторы \(\vec a\left( {4;\,-1} \right)\) и \(\vec b\left( {x;\,8} \right).\) Найдите x, если \(\left| {\,\vec b\,} \right| = 2,5\left| {\,\vec a\,} \right|.\) Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение
Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
Тогда: \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( {-1} \right)}^2}} = \sqrt {17} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{x^2} + {8^2}} = \sqrt {{x^2} + 64} .\)
Следовательно:
\(\sqrt {{x^2} + 64} = \dfrac{5}{2}\sqrt {17} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 64 = \dfrac{{25 \cdot 17}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \dfrac{{169}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \pm 6,5.\)
Наименьшее значение равно \(-6,5.\)
Ответ: \(-6,5\).