Задача 25. Даны векторы \(\vec a\left( {-2;\,4} \right)\) и \(\vec b\left( {2;\,-1} \right).\) Известно, что векторы \(\vec c\left( {x;\,y} \right)\) и \(\vec b\) сонаправленные, а \(\left| {\,\vec c\,} \right| = \left| {\,\vec a\,} \right|.\) Найдите \(x + y.\)
Решение
Так как векторы \(\vec c\left( {x;y} \right)\) и \(\vec b\left( {2;-1} \right)\) соноправленные, то \(\vec c = \alpha \vec b = \left( {2\alpha ;-\alpha } \right)\), где \(\alpha > 0\).
Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
Тогда: \(\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{{\left( {2\alpha } \right)}^2} + {{\left( {-\alpha } \right)}^2}} = \sqrt {5{\alpha ^2}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( {-2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {20} .\)
Следовательно: \(\sqrt {5{\alpha ^2}} = \sqrt {20} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\alpha ^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha = 2.\)
Тогда вектор \(\vec c\) имеет координаты \(\vec c\left( {4;-2} \right)\) и \(x + y = 4-2 = 2\).
Ответ: 2.