Задача 26. Даны векторы \(\vec a\left( {4;\,-6} \right)\) и \(\vec b\left( {-2;\,3} \right).\) Известно, что векторы \(\vec c\left( {x;\,y} \right)\) и \(\vec b\) противоположно направленные, а \(\left| {\,\vec c\,} \right| = \left| {\,\vec a\,} \right|.\) Найдите \(x + y.\)
Решение
Так как векторы \(\vec c\left( {x;y} \right)\) и \(\vec b\left( {-2;3} \right)\) противоположно направленные, то \(\vec c = \alpha \vec b = \left( {-2\alpha ;3\alpha } \right)\), где \(\alpha < 0\).
Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
Тогда: \(\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{{\left( {-2\alpha } \right)}^2} + {{\left( {3\alpha } \right)}^2}} = \sqrt {13{\alpha ^2}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( {-6} \right)}^2}} = \sqrt {52} .\)
Следовательно: \(\sqrt {13{\alpha ^2}} = \sqrt {52} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\alpha ^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha = -2.\)
Тогда вектор \(\vec c\) имеет координаты \(\vec c\left( {4;-6} \right)\) и \(x + y = 4-6 = -2\).
Ответ: \(-2\).