ЕГЭ профильный уровень. №2 Простейшие задачи в координатах. Задача 30

Задача 30. В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: А (2; 3), В (5; 7), D (10; 1). Найдите координаты вершины C. В ответ запишите сумму координат точки C.

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Решение

Пусть точка \(C\left( {x;y} \right)\). Так как ABCD параллелограмм, то \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Найдём координаты векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {DC} \):

\(\overrightarrow {AB} = \left( {5-2;7-3} \right) = \left( {3;4} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DC} = \left( {x-10;y-1} \right).\)

Из равенства векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {DC} \) следует, что:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-10 = 3,}\\{y-1 = 4\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 13,}\\{y = 5.\,\,}\end{array}} \right.} \right.\).

Тогда точка \(C\left( {13;5} \right)\) и сумма её координат равна: \(13 + 5 = 18.\)

Ответ: 18.