Задача 31. Даны координаты точек А (4; 6) и В (x; 1). Найдите x, если AВ = 13 и \(x > 0.\)

Ответ

ОТВЕТ:  16.

Решение

Найдём координаты вектора \(\overrightarrow {AB} \):  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {x-4;1-6} \right) = \left( {x-4;-5} \right).\)

Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна:  \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Тогда:  \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {x-4} \right)}^2} + {{\left( {-5} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x-4} \right)}^2} + 25} .\)

Следовательно:  \(\sqrt {{{\left( {x-4} \right)}^2} + 25}  = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {x-4} \right)^2} + 25 = 169\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {x-4} \right)^2} = 144\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 = 12,}\\{x-4 = -12}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 16,}\\{x = -8.}\end{array}} \right.} \right.\)

Так как  \(x > 0\), то  \(x = 16\).

Ответ:  16.