Задача 35. Даны координаты точек  А (2; 2),  В (6; 10)  и  С (x; 0).  Найдите x, если  CA = CB.

Ответ

ОТВЕТ:  16.

Решение

Найдём координаты векторов  \(\overrightarrow {CA} \) и \(\overrightarrow {CB} \):

\(\overrightarrow {CA}  = \left( {2-x;2-0} \right) = \left( {2-x;2} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB}  = \left( {6-x;10-0} \right) = \left( {6-x;10} \right).\)

Длина вектора  \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна:  \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}.} \)

Тогда:  \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{\left( {2-x} \right)}^2} + 4} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {{{\left( {6-x} \right)}^2} + 100} .\)

Так как по условию  \(CA = CB\), то:

\(\sqrt {{{\left( {2-x} \right)}^2} + 4}  = \sqrt {{{\left( {6-x} \right)}^2} + 100} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4-4x + {x^2} + 4 = 36-12x + {x^2} + 100\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8x = 128\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 16.\)

Ответ:  16.