Задача 36. Даны координаты точек  А (5; 1),  В (13; y)  и  С (2; 4).  Найдите y, если  AB = CB.

Ответ

ОТВЕТ:  12.

Решение

Найдём координаты векторов  \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CB} \):

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {13-5;y-1} \right) = \left( {8;y-1} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB}  = \left( {13-2;y-4} \right) = \left( {11;y-4} \right).\)

Длина вектора  \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна:  \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}.} \)

Тогда:  \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {64 + {{\left( {y-1} \right)}^2}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {121 + {{\left( {y-4} \right)}^2}} .\)

Так как по условию  \(AB = CB\), то:

\(\sqrt {64 + {{\left( {y-1} \right)}^2}}  = \sqrt {121 + {{\left( {y-4} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,64 + {y^2}-2y + 1 = 121 + {y^2}-8y + 16\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6y = 72\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 12.\)

Ответ:  12.