ЕГЭ профильный уровень. №2 Скалярное произведение векторов. Задача 20math100admin44242023-11-17T22:04:59+03:00
Задача 20. Даны векторы \(\vec m\left( {4;\,-3} \right),\,\,\,\,\vec n\left( {2;-5} \right),\,\,\,\,\vec k\left( {-3;\,3} \right)\) и \(\vec p\left( {3;\,-5} \right).\) Найдите скалярное произведение \(\left( {\vec m + \vec n} \right) \cdot \left( {\vec k-\vec p} \right).\)
Решение
Найдём координаты векторов \(\vec m + \vec n\) и \(\vec k-\vec p\), воспользовавшись тем, что при сложении векторов складываются их одноимённые координаты, а при вычитании вычитаются:
\(\vec m + \vec n = \left( {4 + 2;-3-5} \right) = \left( {6;-8} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec k-\vec p = \left( {-3-3;3 + 5} \right) = \left( {-6;8} \right).\)
Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно:
\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).
Следовательно:
\(\left( {\vec m + \vec n} \right) \cdot \left( {\vec k-\vec p} \right) = 6 \cdot \left( {-6} \right)-8 \cdot 8 = -100.\)
Ответ: \(-100\).