Задача 21. Даны векторы \(\vec m\left( {2;\,6} \right),\,\,\,\,\vec n\left( {-3;1} \right),\,\,\,\,\vec k\left( {4;\,-2} \right)\) и \(\vec p\left( {2;\,-6} \right).\) Найдите скалярное произведение  \(\left( {\vec m-\vec n} \right) \cdot \left( {\vec k + \vec p} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(-10\).

Решение

Найдём координаты векторов \(\vec m-\vec n\) и \(\vec k + \vec p\), воспользовавшись тем, что при сложении векторов складываются их одноимённые координаты, а при вычитании вычитаются:

\(\vec m-\vec n = \left( {2 + 3;6-1} \right) = \left( {5;5} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec k + \vec p = \left( {4 + 2;-2-6} \right) = \left( {6;-8} \right).\)

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: 

\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\left( {\vec m-\vec n} \right) \cdot \left( {\vec k + \vec p} \right) = 5 \cdot 6 + 5 \cdot \left( {-8} \right) = -10.\)

Ответ:  \(-10\).