Задача 22. Даны векторы \(\vec m\left( {2;\,-3} \right),\,\,\,\,\vec n\left( {-2;1} \right),\,\,\,\,\vec k\left( {2;\,3} \right)\) и \(\vec p\left( {3;\,1} \right).\) Найдите скалярное произведение  \(\left( {\vec m-\vec n} \right) \cdot \left( {\vec k-\vec p} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(-12\).

Решение

Найдём координаты векторов \(\vec m-\vec n\) и \(\vec k-\vec p\), воспользовавшись тем, что при вычитании векторов вычитаются их одноимённые координаты:

\(\vec m-\vec n = \left( {2 + 2;-3-1} \right) = \left( {4;-4} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec k-\vec p = \left( {2-3;3-1} \right) = \left( {-1;2} \right).\)

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно:

  \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\left( {\vec m-\vec n} \right) \cdot \left( {\vec k-\vec p} \right) = 4 \cdot \left( {-1} \right)-4 \cdot 2 = -4-8 = -12.\)

Ответ:  \(-12\).