Задача 23. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec a,\,\,\,\vec b\) и \(\vec c\) с целочисленными координатами. Найдите скалярное произведение \(\left( {\vec a-\vec b} \right) \cdot \vec c.\) 

Ответ

ОТВЕТ:  16.

Решение

Запишем координаты векторов:

\(\vec a\left( {2;4} \right);\,\,\,\,\,\vec b\left( {5;2} \right);\,\,\,\,\,\,\,\vec c\left( {-2;5} \right).\)

Найдём координаты вектора \(\vec a-\vec b\):

\(\vec a-\vec b = \left( {2-5;4-2} \right) = \left( {-3;2} \right).\)

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: 

\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\left( {\vec a-\vec b} \right) \cdot \vec c = -3 \cdot \left( {-2} \right) + 2 \cdot 5 = 16.\)

Ответ:  16.