Задача 24. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec a,\,\,\,\vec b\) и \(\vec c\) с целочисленными координатами. Найдите скалярное произведение \(\left( {\vec b-\vec a} \right) \cdot \vec c.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(-3\).

Решение

Запишем координаты векторов:

\(\vec a\left( {1;-5} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec b\left( {4;0} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec c\left( {4;-3} \right).\)

Найдём координаты вектора \(\vec b-\vec a\):

\(\vec b-\vec a = \left( {4-1;0 + 5} \right) = \left( {3;5} \right).\)

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: 

\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\left( {\vec b-\vec a} \right) \cdot \vec c = 3 \cdot 4 + 5 \cdot \left( {-3} \right) = -3.\)

Ответ:  \(-3\).