Задача 27. В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: А (0; 0), В (5; 0), С (12; 3). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AD} .\)

Ответ

ОТВЕТ:  35.

Решение

Так как ABCD параллелограмм, то \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). Найдём координаты векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {BC} \), воспользовавшись тем, что координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {5-0;0-0} \right) = \left( {5;0} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {12-5;3-0} \right) = \left( {7;3} \right).\)

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: 

\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 5 \cdot 7 + 0 \cdot 3 = 35.\)

Ответ:  35.