Задача 28. В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: А (2; 3), В (5; 7), D (10; 1). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {BC} .\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {5-2;7-3} \right) = \left( {3;4} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AD} = \left( {10-2;1-3} \right) = \left( {8;-2} \right).\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Следовательно: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 3 \cdot 8 + 4 \cdot \left( {-2} \right) = 16.\) Ответ: 16.
Так как ABCD параллелограмм, то \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \). Найдём координаты векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AD} \), воспользовавшись тем, что координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала: