Задача 30. Даны векторы \(\vec a\left( {-7;\,3} \right),\,\,\,\,\,\vec b\left( {-3;\,5} \right)\) и \(\vec c\left( {-2;\,y} \right).\) Найдите y, если \(\left( {\vec a-\vec b} \right) \cdot \vec c = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ:  4.

Решение

Найдем координаты вектора \(\vec a-\vec b\):

\(\vec a-\vec b = \left( {-7 + 3;3-5} \right) = \left( {-4;-2} \right).\)

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: 

\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\left( {\vec a-\vec b} \right) \cdot \vec c = -4 \cdot \left( {-2} \right)-2y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 4.\)

Ответ:  4.