Задача 32. Даны векторы \(\vec a\left( {-2;\,7} \right),\,\,\,\,\,\vec b\left( {9;\,-3} \right)\) и \(\vec c\left( {4;\,y} \right).\) Найдите y, если векторы \(\vec c\) и \(\vec a + \vec b\) перпендикулярны.

Ответ

ОТВЕТ:  \(-7\).

Решение

Найдем координаты вектора \(\vec a + \vec b\):

\(\vec a + \vec b = \left( {-2 + 9;7-3} \right) = \left( {7;4} \right).\)

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: 

\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Следовательно:

\(\vec c \cdot \left( {\vec a + \vec b} \right) = 4 \cdot 7 + 4y = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,y = -7.\)

Ответ:  \(-7\).