Задача 33. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {3;\,-4} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,-3} \right).\)
ОТВЕТ: 0,96.
По определению скалярного произведения: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\widehat {\vec a\,\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}.\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\) Следовательно: \(\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{{3 \cdot 4 + \left( {-4} \right) \cdot \left( {-3} \right)}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( {-4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( {-3} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{{5 \cdot 5}} = 0,96.\) Ответ: 0,96.