Задача 34. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {2;\,-2} \right)\) и \(\vec b\,\left( {-3;\,3} \right).\)
ОТВЕТ: \(-1\).
По определению скалярного произведения: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\widehat {\vec a\,\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}.\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\) Следовательно: \(\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{{2 \cdot \left( {-3} \right) + \left( {-2} \right) \cdot 3}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {-2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {-3} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{-12}}{{2\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 }} = -1.\) Ответ: \(-1\).