Задача 35. Найдите косинус угла между векторами \(\vec p\,\) и \(\vec q\,,\)  если известно, что  \(\vec p\,\left( {-9;\,-12} \right)\)  и  \(\vec q\,\left( {-3;\,4} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(-0,28\).

Решение

По определению скалярного произведения:

\(\vec p \cdot \vec q = \left| {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec q} \right| \cdot \cos \left( {\widehat {\vec p\,\vec q}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec p\vec q}} \right) = \frac{{\vec p \cdot \vec q}}{{\left| {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec q} \right|}}.\)

Если даны векторы \(\vec p\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec q\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec p\) и \(\vec q\) равно: 

\(\vec p \cdot \vec q = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).

Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна:  \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Следовательно:

\(\cos \left( {\widehat {\vec p\vec q}} \right) = \frac{{-9 \cdot \left( {-3} \right)-12 \cdot 4}}{{\sqrt {{{\left( {-9} \right)}^2} + {{\left( {-12} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {-3} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{-21}}{{15 \cdot 5}} = -0,28.\)

Ответ:  \(-0,28\).