Задача 38. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,8} \right),\,\,B\left( {-1;\,5} \right)\) и \(C\left( {3;\,1} \right)\) найдите косинус угла А.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {-1-2;5-8} \right) = \left( {-3;-3} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3-2;1-8} \right) = \left( {1;-7} \right).\) \(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} }} \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{-3 \cdot 1-3 \cdot \left( {-7} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {-3} \right)}^2} + {{\left( {-3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {-7} \right)}^2}} }} = \frac{{18}}{{3\sqrt 2 \cdot 5\sqrt 2 }} = 0,6.\) Ответ: 0,6.
Угол A равен углу между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AC} \). найдём координаты векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(A\overrightarrow C \):