Задача 40. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {-1;\,\sqrt 3 } \right),\,\,B\left( {1;\,-\sqrt 3 } \right)\) и \(C\left( {0,5;\,\sqrt 3 } \right)\) найдите угол А. Ответ дайте в градусах.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1-\left( {-1} \right);-\sqrt 3 -\sqrt 3 } \right) = \left( {2;-2\sqrt 3 } \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0,5-\left( {-1} \right);\sqrt 3 -\sqrt 3 } \right) = \left( {1,5;0} \right).\) \(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} }} \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{2 \cdot 1,5-2\sqrt 3 \cdot 0}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {-2\sqrt 3 } \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{1,5}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{4 \cdot 1,5}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\widehat {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} } = {60^ \circ }.\) Ответ: 60.
Угол A равен углу между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AC} \). найдём координаты векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(A\overrightarrow C \):