Задача 41. Длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны соответственно 3 и 25, а их скалярное произведение равно  \(-75.\)  Найдите длину вектора \(\vec c,\) если \(\vec c = 2\vec a + \frac{1}{5}\vec b.\) 

Ответ

ОТВЕТ:  1.

Решение

По определению скалярного произведения:

\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,-75 = 3 \cdot 25 \cdot \cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = -1.\)

Так как \(\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = -1\), то угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\) равен \({180^ \circ }\), то есть вектора имеют противоположные направления. Поэтому:

\(\left| {\vec c} \right| = \left| {2\vec a + \frac{1}{5}\vec b} \right| = \left| {2\left| {\vec a} \right|-\frac{1}{5}\left| {\vec b} \right|} \right| = \left| {2 \cdot 3-\frac{1}{5} \cdot 25} \right| = 1.\)

Ответ:  1.