Задача 43. Длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны соответственно 5 и 8, а их скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора \(\vec c,\) если \(\vec c = 3\vec a + \,\vec b.\)
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,12 = 5 \cdot 8 \cdot \cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{3}{{10}}.\) Построим на векторах \(3\vec a\) и \(\vec b\) параллелограмм ABCD. Тогда: \(\vec c = 3\vec a + \vec b = \overrightarrow {AC} .\) Так как \(\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{3}{{10}}\), то \(\cos \angle A = \frac{3}{{10}}\), а \(\cos \angle B = -\frac{3}{{10}}.\) \(AB = \left| {3\vec a} \right| = 3\left| {\vec a} \right| = 3 \cdot 5 = 15;\,\,\,\,\,\,\,\,BC = AD = \left| {\vec b} \right| = 8.\) Длину диагонали АС найдём по теореме косинусов: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle B\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{{15}^2} + {8^2}-2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \left( {-\frac{3}{{10}}} \right)} = 19.\) Следовательно: \(\left| {\vec c} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 19.\) Ответ: 19.
По определению скалярного произведения: