Задача 44. Длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны соответственно 16 и 6, а их скалярное произведение равно 24. Найдите длину вектора \(\vec c,\) если \(\vec c = \frac{1}{4}\vec a + \,\vec b.\)
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,24 = 16 \cdot 6 \cdot \cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{1}{4}.\) Построим на векторах \(\frac{1}{4}\vec a\) и \(\vec b\) параллелограмм ABCD. Тогда: \(\vec c = \frac{1}{4}\vec a + \vec b = \overrightarrow {AC} .\) Так как \(\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \frac{1}{4}\), то \(\cos \angle A = \frac{1}{4}\), а \(\cos \angle B = -\frac{1}{4}.\) \(AB = \left| {\frac{1}{4}\vec a} \right| = \frac{1}{4}\left| {\vec a} \right| = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4;\,\,\,\,\,\,\,\,BC = AD = \left| {\vec b} \right| = 6.\) Длину диагонали АС найдём по теореме косинусов: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle B\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{4^2} + {6^2}-2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left( {-\frac{1}{4}} \right)} = 8.\) Следовательно: \(\left| {\vec c} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 8.\) Ответ: 8.
По определению скалярного произведения: