Задача 45. Даны векторы \(\vec a\left( {4;\,y} \right)\) и \(\vec b\left( {x;\,0} \right),\) косинус угла между которыми равен \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\) Найдите y. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
ОТВЕТ: \(-2\).
По определению скалярного произведения: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right).\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\) Тогда: \(4 \cdot x + y \cdot 0 = \sqrt {{4^2} + {y^2}} \cdot \sqrt {{x^2} + {0^2}} \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,4x = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \cdot \left| x \right| \cdot \sqrt {16 \cdot {y^2}} .\) Если \(x < 0\), то последнее уравнение не имеет решений. Поэтому \(x \ge 0\) и \(\left| x \right| = x\). Тогда: \(4\sqrt 5 x-2x\sqrt {16 + {y^2}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \cdot \left( {4\sqrt 5 -2\sqrt {16 + {y^2}} } \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4\sqrt 5 -2\sqrt {16 + {y^2}} = 0.}\end{array}} \right.\) Если \(x = 0\), то вектор \(\vec b\) будет иметь координаты \(\vec b\left( {0;0} \right)\), то есть он будет являться нулевым, что невозможно. \(2\sqrt {16 + {y^2}} = 4\sqrt 5 \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,4 \cdot \left( {16 + {y^2}} \right) = 80\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = -2,}\\{y = 2.\,\,\,}\end{array}} \right.\) Следовательно, наименьшее значение \(y = -2.\) Ответ: \(-2\).