Задача 46. Даны векторы \(\vec a\left( {x;\,-2} \right)\) и \(\vec b\left( {0;\,y} \right),\) косинус угла между которыми равен \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\) Найдите x. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
ОТВЕТ: \(-4\).
По определению скалярного произведения: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right).\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\) Тогда: \(x \cdot 0-2 \cdot y = \sqrt {{x^2} + {{\left( {-2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {y^2}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 }}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,-2y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left| y \right| \cdot \sqrt {{x^2} + 4} .\) Если \(y > 0\), то последнее уравнение не имеет решений. Поэтому \(y \le 0\) и \(\left| y \right| = -y\). Тогда: \(y\sqrt {{x^2} + 4} -2\sqrt 5 y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,y \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 4} -2\sqrt 5 } \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt {{x^2} + 4} -2\sqrt 5 = 0.}\end{array}} \right. \) Если \(y = 0\), то вектор \(\vec b\) будет иметь координаты \(\vec b\left( {0;0} \right)\), то есть он будет нулевым, что невозможно. \(\sqrt {{x^2} + 4} = 2\sqrt 5 \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4 = 20\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,}\\{x = 4.\,\,\,}\end{array}} \right.\) Следовательно, наименьшее значение \(x = -4.\) Ответ: \(-4\).