Задача 47. В четырёхугольнике ABCD с вершинами в точках \(A\left( {3;\,3} \right),\,\,B\left( {1;\,5} \right),\) \(C\left( {4,5;\,5,5} \right)\) и \(D\left( {6;\,2} \right)\) найдите угол между диагоналями. Ответ дайте в градусах.
\(\overrightarrow {AC} = \left( {4,5-3;5,5-3} \right) = \left( {1,5;2,5} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {6-1;2-5} \right) = \left( {5;-3} \right).\) По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {BD} }} \right).\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\) Тогда: \(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {BD} }} \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{1,5 \cdot 5 + 2,5 \cdot \left( {-3} \right)}}{{\sqrt {{{1,5}^2} + {{2,5}^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {{\left( {-3} \right)}^2}} }} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\widehat {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {BD} } = {90^ \circ }.\) Ответ: 90.
В четырёхугольнике ABCD угол между диагоналями равен углу между векторами \(\overrightarrow {AC} \) и \(\overrightarrow {BD} \). Найдём координаты этих векторов: