Задача 48. В четырёхугольнике ABCD с вершинами в точках \(A\left( {-3;\,-2} \right),\,\) \(B\left( {2;\,-3} \right),\) \(C\left( {9;\,6} \right)\) и \(D\left( {4;\,7} \right)\) найдите угол между диагоналями. Ответ дайте в градусах.
\(\overrightarrow {AC} = \left( {9-\left( {-3} \right);6-\left( {-2} \right)} \right) = \left( {12;8} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {4-2;7-\left( {-3} \right)} \right) = \left( {2;10} \right).\) По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {BD} }} \right).\) Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно: \(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\). Длина вектора \(\vec d\left( {x;y} \right)\) равна: \(\left| {\vec d} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\) Тогда: \(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {BD} }} \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{12 \cdot 2 + 8 \cdot 10}}{{\sqrt {{{12}^2} + {8^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{104}}{{\sqrt {208} \cdot \sqrt {104} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\widehat {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {BD} } = {45^ \circ }.\) Ответ: 45.
В четырёхугольнике ABCD угол между диагоналями равен углу между векторами \(\overrightarrow {AC} \) и \(\overrightarrow {BD} \). Найдём координаты этих векторов: