Задача 49. В треугольнике АВС скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {BA} \) и \(\overrightarrow {BC} \) равно 8, а угол между ними \({45^ \circ }.\) Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ

ОТВЕТ:  4.

Решение

По определению скалярного произведения:

\(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \angle B.\)

Тогда:

\(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 8\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \frac{{16}}{{\sqrt 2 }}.\)

Найдём площадь треугольника ABC:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin \angle B = \frac{1}{2} \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\sin {45^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4.\)

Ответ:  4.