Задача 5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что \(AB = 3\sqrt 2 .\) Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AC} .\)
\(\sin {45^ \circ } = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{BC}}{{3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 3 = AC.\) По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 3\sqrt 2 \cdot 3 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 9.\) Ответ: 9.
Так как треугольник равнобедренный, то \(\angle A = \angle B = {45^ \circ }\). По определению синуса: