Задача 50. В параллелограмме АВСD скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AD} \) равно \(5\sqrt 3 ,\) а угол между ними \({30^ \circ }.\) Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ

ОТВЕТ:  5.

Решение

По определению скалярного произведения:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \angle A.\)

Тогда:

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos {30^ \circ } = 5\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 10.\)

Найдём площадь параллелограмма ABCD:

\({S_{ABCD}} = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  \cdot \sin \angle A = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\sin {30^ \circ } = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5.\)

Ответ:  5.