Задача 51. В параллелограмме ABCD с острым углом А стороны равны 10 и 12, а его площадь равна 72. Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AD} .\)
Следовательно: \(72 = 10 \cdot 12 \cdot \sin \angle A\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin \angle A = \frac{3}{5}.\) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1-{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}.\) Так как угол А острый, то \(\cos \angle A = \frac{4}{5}\). По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \angle A = 10 \cdot 12 \cdot \frac{4}{5} = 96.\) Ответ: 96.
\({S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A.\)