Задача 52. В параллелограмме ABCD с острым углом А стороны равны 10 и 15, а его площадь равна 42. Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {DA} .\)
Следовательно: \(42 = 10 \cdot 15 \cdot \sin \angle A\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin \angle A = \frac{7}{{25}}.\) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1-{\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^2} = \frac{{576}}{{625}}.\) Так как угол А острый, то \(\cos \angle A = \frac{{24}}{{25}}\), а \(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {DA} }} \right) = -\frac{{24}}{{25}}\). По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DA} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AB} }\overrightarrow {DA} } \right) = 10 \cdot 15 \cdot \left( {-\frac{{24}}{{25}}} \right) = -144.\) Ответ: \(-144\).
\({S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A.\)