Задача 53. Даны точки \(A\left( {5;\,4} \right)\) и \(B\left( {6;\,3} \right).\) Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CB} ,\) если \(BC = 9,\,\,\,\angle CBA = {135^ \circ }.\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6-5;3-4} \right) = \left( {1;-1} \right).\) Тогда: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {-1} \right)}^2}} = \sqrt 2 .\) Так как \(\angle CBA = {135^ \circ }\), то угол между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CB} \) также равен \({135^ \circ }\). Воспользуемся определением скалярного произведения: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos {135^ \circ } = \sqrt 2 \cdot 9 \cdot \left( {-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = -9.\) Ответ: \(-9\).
Найдём координаты вектора \(\overrightarrow {AB} \):