Задача 54. Даны точки \(A\left( {-2;\,1} \right)\) и \(B\left( {1;\,5} \right).\) Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CB} ,\) если \(BC = 7,\,\,\,\angle CBA = {120^ \circ }.\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1-\left( {-2} \right);5-1} \right) = \left( {3;4} \right).\) Тогда: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\) Так как \(\angle CBA = {120^ \circ }\), то угол между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CB} \) также равен \({120^ \circ }\). Воспользуемся определением скалярного произведения: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos {120^ \circ } = 5 \cdot 7 \cdot \left( {-\frac{1}{2}} \right) = -17,5.\) Ответ: \(-17,5\).
Найдём координаты вектора \(\overrightarrow {AB} \):